Zbiory, liczby i logika

Rozpoczynając naukę w szkole średniej, matematyka wymaga uporządkowania pewnych podstaw. Zanim przejdziemy do rozwiązywania skomplikowanych równań i analizowania funkcji, musimy dobrze poznać fundamenty, na których opiera się królowa nauk: logikę matematyczzną oraz pojęcie zbiorów.

1. Logika matematyczna (Zdania logiczne)

W matematyce zdanie logiczne to specjalny rodzaj twierdzenia, o którym możemy jednoznacznie orzec, czy jest prawdziwe (przypisujemy mu wartość logiczną $1$), czy też fałszywe (wartość logiczna $0$).

• "Paryż jest stolicą Polski" – to zdanie logiczne, w dodatku fałszywe ($0$).
• "$2 + 2 = 4$" – to również zdanie logiczne, ale prawdziwe ($1$).
• "Jaka jest dzisiaj pogoda?" – to nie jest zdanie logiczne, ponieważ nie da się przypisać pytaniu wartości prawdy lub fałszu.

Spójniki logiczne: Pojedyncze zdania łączymy w bardziej złożone wyrażenia za pomocą spójników logicznych:

• Koniunkcja (i): $p \land q$ (prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe)
• Alternatywa (lub): $p \lor q$ (prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdań jest prawdziwe)
• Implikacja (jeśli..., to...): $p \implies q$ (fałszywa wyłącznie w jednej sytuacji: gdy z prawdy wynika fałsz)
• Równoważność (wtedy i tylko wtedy, gdy): $p \iff q$ (prawdziwa, gdy oba zdania mają dokładnie tę samą wartość logiczną)

2. Zbiory liczbowe

Matematyka dzieli wszystkie znane nam liczby na specjalne grupy, nazywane zbiorami liczbowymi. Każdy zbiór z poniższej listy zawiera w sobie poprzedni:

• $\mathbb{N}$ - Liczby naturalne: ${0, 1, 2, 3, \dots}$ (niektóre podręczniki wykluczają zero z tego zbioru).
• $\mathbb{Z}$ - Liczby całkowite: ${\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots}$.
• $\mathbb{Q}$ - Liczby wymierne: wszystkie liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego $\frac{p}{q}$ (gdzie $p$ i $q$ są całkowite), np. $\frac{1}{2}$, $-5$, $0,333\dots$
• $\mathbb{IW}$ - Liczby niewymierne: liczby, których w żaden sposób nie da się zapisać jako ułamek zwykły, np. $\pi$, $\sqrt{2}$.
• $\mathbb{R}$ - Liczby rzeczywiste: wszystkie powyższe zbiory połączone w jedną wielką całość (cała oś liczbowa).

3. Przedziały

Przedziały to fragmenty ciągłej osi liczbowej.

• Przedział otwarty $(a, b)$: liczby od $a$ do $b$, bez punktów granicznych $a$ i $b$. Zapisujemy to jako nierówność $a < x < b$. Na osi liczbowej zaznaczamy je niezamalowanymi (pustymi) kółkami.
• Przedział domknięty $\langle a, b \rangle$: liczby od $a$ do $b$, włącznie z punktami granicznymi $a$ i $b$. Zapisujemy to jako $a \le x \le b$. Kółka na osi są wtedy całkowicie zamalowane.

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego w implikacji ($p \implies q$) z fałszu może wynikać prawda? To najtrudniejszy do zrozumienia element logiki, ale można go świetnie zobrazować obietnicą wyborczą! Wyobraź sobie, że polityk (albo rodzic) składa obietnicę ($p \implies q$): "Jeśli dostanę piątkę ($p$), to kupię nowy rower ($q$)".

• Jeżeli dostałeś piątkę ($p=1$) i rodzic kupił rower ($q=1$), obietnica została dotrzymana (implikacja jest prawdziwa).
• Jeżeli dostałeś piątkę ($p=1$), ale roweru nie ma ($q=0$), rodzic skłamał (z prawdy wyniknął fałsz, implikacja jest fałszywa). To jedyny przypadek kłamstwa!
• A co, jeśli nie dostałeś piątki ($p=0$)? W tej sytuacji rodzic może postąpić dwojako: albo nie kupi roweru ($q=0$), albo zlituje się i kupi go mimo wszystko ($q=1$). W żadnym z tych dwóch scenariuszy nie możemy mu zarzucić, że złamał słowo! Dlatego, gdy pierwsze zdanie jest fałszywe, to implikacja jako całość zawsze pozostaje z logicznego punktu widzenia prawdziwa.

Przykładowe zadania