Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to ta część matematyki, w której liczby mieszają się z literami (zmiennymi). To absolutna podstawa wszelkich przekształceń wzorów w fizyce, chemii i matematyce. Biegłość w operowaniu tymi wyrażeniami jest niezbędna do rozwiązywania bardziej zaawansowanych problemów.

1. Wzory skróconego mnożenia

Te trzy podstawowe wzory pozwalają na błyskawiczne obliczanie kwadratów nawiasów. Znajomość ich na pamięć jest kluczowa:

• Kwadrat sumy: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
• Kwadrat różnicy: $$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
• Różnica kwadratów: $$ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $$

Uwaga (poziom rozszerzony): W szkole średniej dochodzą również wzory z sześcianami:

• Sześcian sumy: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Sześcian różnicy: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• Suma sześcianów: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Różnica sześcianów: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

2. Działania na potęgach

Wykonywanie obliczeń na potęgach opiera się na pięciu żelaznych zasadach:

1. Mnożenie o tych samych podstawach (dodajemy wykładniki): $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. Dzielenie o tych samych podstawach (odejmujemy wykładniki): $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
3. Potęgowanie potęgi (mnożymy wykładniki): $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
4. Potęga ujemna (odwracamy podstawę): $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
5. Potęga ułamkowa (zamieniamy na pierwiastek): $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

3. Usuwanie niewymierności z mianownika

Jeśli w mianowniku ułamka pojawia się pierwiastek, w matematyce uznaje się to za zapis nieelegancki. Zawsze staramy się go usunąć:

• Pojedynczy pierwiastek: Jeśli wynikiem jest $\frac{2}{\sqrt{3}}$, mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$. Otrzymujemy w ten sposób: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
• Suma/różnica z pierwiastkiem: Jeśli w mianowniku znajduje się wyrażenie takie jak $\sqrt{5}-2$, mnożymy licznik i mianownik przez tzw. sprzężenie ($\sqrt{5}+2$), aby skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów: $\frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5 - 4} = \sqrt{5}+2$.

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Skąd wziął się słynny wzór na kwadrat sumy: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$? Dlaczego to nie jest po prostu $a^2 + b^2$?

Można to łatwo udowodnić geometrycznie! Wyobraź sobie kwadrat, którego bok składa się z dwóch odcinków: niebieskiego o długości $a$ oraz czerwonego o długości $b$. Cały bok ma więc długość $(a+b)$. Pole całego, wielkiego kwadratu wynosi oczywiście $(a+b)^2$. Teraz narysujmy linie dzielące ten wielki kwadrat, zaczynając od miejsc, w których łączą się odcinki $a$ i $b$. Wielki kwadrat zostanie podzielony na cztery mniejsze figury:

1. Jeden mały kwadrat o boku $a$ (jego pole to $a^2$)
2. Drugi mały kwadrat o boku $b$ (jego pole to $b^2$)
3. Dwa identyczne prostokąty o bokach $a$ oraz $b$ (pole każdego z nich to $ab$) Sumując pola tych czterech mniejszych figur, otrzymujemy dokładnie: $a^2 + ab + ab + b^2$, co po uproszczeniu daje nam nasz znany wzór: $a^2 + 2ab + b^2$. Ta $2ab$ to pola dwóch "brakiujących" prostokątów!

Przykładowe zadania