Równania i nierówności liniowe

Rozwiązywanie równań i nierówności przypomina szukanie równowagi na wadze szalkowej. Złota zasada brzmi: cokolwiek robisz po lewej stronie znaku równości ($=$), musisz zrobić to samo po prawej stronie, aby nie zaburzyć balansu.

1. Równania liniowe

To najprostszy typ równań, w których niewiadoma (najczęściej $x$) występuje wyłącznie w pierwszej potędze (czyli nie ma tam $x^2$ ani $x^3$).

Schemat rozwiązywania:

1. Zlikwiduj ułamki (pomnóż obustronnie całe równanie przez wspólny mianownik).
2. Opuść nawiasy, wymnażając przez nie odpowiednie liczby.
3. Przenieś wszystkie wyrażenia z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą (pamiętaj o zmianie znaku przy przenoszeniu!).
4. Zredukuj wyrazy podobne.
5. Podziel obustronnie przez liczbę stojącą przy $x$.

Liczba rozwiązań:

• Równanie oznaczone – posiada dokładnie jedno konkretne rozwiązanie (np. $x = 5$).
• Równanie tożsamościowe – posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Lewa strona jest identyczna z prawą (np. $0 = 0$, $x \in \mathbb{R}$). Każda wstawiona liczba będzie poprawna.
• Równanie sprzeczne – nie ma żadnego rozwiązania (np. $0 = 7$). Żadna liczba na świecie nie spełnia takiego warunku. Zapisujemy to jako $x \in \emptyset$ (zbiór pusty).

2. Nierówności liniowe

Nierówności rozwiązujemy niemal identycznie jak równania liniowe, z jedną niezwykle ważną różnicą:

Kiedy mnożysz lub dzielisz nierówność obustronnie przez liczbę ujemną, musisz bezwzględnie odwrócić znak nierówności na przeciwny!

Przykład: $$ -2x > 6 \quad \big/ : (-2) $$ $$ x < -3 $$

Rozwiązaniem nierówności zazwyczaj nie jest jedna, konkretna liczba, lecz cały nieskończony przedział liczbowy (w powyższym przypadku jest to $x \in (-\infty, -3)$). Należy pamiętać, by po obliczeniach zaznaczyć ten zbiór na osi liczbowej.

3. Równania z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna $|x|$ określa po prostu odległość danej liczby na osi liczbowej od zera. Ponieważ odległość w fizycznym świecie nie może być ujemna, wartość bezwzględna "zjada" wszelkie minusy.

Jeśli mamy do rozwiązania równanie: $$ |x - 3| = 5 $$ Oznacza to z matematycznego punktu widzenia, że wyrażenie wewnątrz wartości bezwzględnej ($x-3$) znajduje się w odległości 5 jednostek od zera. Może więc być równe $5$ LUB $-5$. Zawsze rozpisujemy tego typu problem na dwa osobne przypadki: $$ x - 3 = 5 \quad \lor \quad x - 3 = -5 $$ $$ x = 8 \quad \lor \quad x = -2 $$

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego przy mnożeniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną musimy "odwracać ptaszka" (znak nierówności)? Wydaje się to być jakąś dziwną anomalią, ale w rzeczywistości ma to głęboki sens na osi liczbowej.

Weźmy prostą, bezsporną prawdę: $$ 3 < 5 $$ Trójka jest mniejsza od piątki. Zgadza się. Teraz spróbujmy pomnożyć obie strony przez liczbę ujemną, np. przez $-1$. Gdybyśmy NIE odwrócili znaku, otrzymalibyśmy: $$ -3 < -5 $$ Co jest kompletną bzdurą! Z długiem wielkości 3 złotych jesteś bogatszy (masz więcej) niż z długiem wielkości 5 złotych. Liczba $-3$ leży po prawej stronie od $-5$ na osi liczbowej, jest więc większa. Prawidłowy zapis to zatem: $$ -3 > -5 $$ Dlatego właśnie znak musi zostać odwrócony – mnożenie przez liczbę ujemną fizycznie odbija (rotuje) całą oś liczbową na drugą stronę zera jak w lustrze. To, co było "dalej po prawej" na plusie, staje się "dalej po lewej" na minusie.

Przykładowe zadania