Funkcje

W matematyce funkcja działa jak zaprogramowana maszyna. Wrzucasz do niej jakąś liczbę startową (nazywaną argumentem), maszyna przetwarza ją w środku według ściśle określonego wzoru, a na samym końcu zwraca nowy wynik (nazywany wartością).

Najważniejsza, fundamentalna zasada funkcji brzmi: Dla każdego jednego argumentu ($x$) funkcja może wydać z siebie tylko i wyłącznie jeden, konkretny wynik ($y$).

1. Podstawowe pojęcia

Zanim zaczniesz analizować skomplikowane wykresy, musisz bezbłędnie opanować te trzy pojęcia:

• Dziedzina ($D$): Zbiór absolutnie wszystkich argumentów ("iksów"), które mamy prawo wrzucić do naszej maszyny. Przykładowo, jeśli wzór funkcji zawiera dzielenie ($f(x) = \frac{1}{x}$), do maszyny pod żadnym pozorem nie możemy wrzucić zera (bo przez zero w matematyce dzielić nie wolno!). Dlatego zero jest wyrzucane z dziedziny.
• Zbiór wartości ($ZW$): Zbiór wszystkich możliwych wyników ("igreków"), które maszyna jest w stanie z siebie wydać. Jeśli np. funkcja podnosi każdą liczbę do kwadratu ($f(x) = x^2$), to nigdy nie wyda z siebie liczby ujemnej. Zbiorem wartości będą tylko liczby nieujemne.
• Miejsce zerowe ($x_0$): Taki unikalny argument ("iks"), który po wrzuceniu do maszyny daje wynik równy dokładnie zero. Na wykresie graficznym szukamy go tam, gdzie narysowana krzywa przecina poziomą oś $OX$. Obliczamy je, rozwiązując proste równanie: $f(x) = 0$.

2. Monotoniczność funkcji

Funkcja może zachowywać się na różne sposoby, gdy przesuwamy palcem po osi argumentów ("iksów") od strony lewej do prawej:

• Funkcja rosnąca: Gdy "iksy" stają się coraz większe, "igreki" również rosną (wykres pnie się pod górę).
• Funkcja malejąca: Gdy "iksy" stają się coraz większe, "igreki" z kolei maleją (wykres opada w dół).
• Funkcja stała: Wykres to idealnie płaska, pozioma linia. Dla każdego argumentu wartość funkcji jest cały czas taka sama.

3. Sposoby opisywania funkcji

Matematycy lubią opisywać tę samą funkcję na kilka różnych sposobów. Najpopularniejsze z nich to:

• Za pomocą wzoru matematycznego (np. $f(x) = 2x - 3$)
• Za pomocą tabelki
• Za pomocą wykresu w układzie współrzędnych
• Za pomocą opisu słownego (np. "funkcja każdej liczbie naturalnej przypisuje jej kwadrat")

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego w matematyce funkcja nie może dla jednego argumentu zwrócić dwóch różnych wyników? Dlaczego tak rygorystycznie tego pilnujemy? Funkcja z założenia modeluje pewne zjawiska i musi być w 100% przewidywalna. Wyobraź sobie, że funkcja opisuje prędkość samochodu w zależności od czasu, a argumentem (x) jest dokładna sekunda podróży. W 50. sekundzie jazdy twój samochód nie może jechać jednocześnie $40 \text{ km/h}$ oraz $120 \text{ km/h}$. W danym, unikalnym ułamku czasu może posiadać tylko jedną, konkretną prędkość. Z tego właśnie powodu każdy $x$ może mieć przypisany tylko jeden $y$. Jeśli maszyna dla liczby $2$ zwraca zarówno $5$ jak i $10$, to nie jest to żadna funkcja, lecz po prostu przyporządkowanie, relacja losowa, na której nie da się oprzeć twardych obliczeń fizycznych ani inżynieryjnych!

Przykładowe zadania