Funkcja liniowa

Funkcja liniowa to absolutna podstawa matematyki w szkole średniej. Jej wykresem w układzie współrzędnych jest zawsze idealna linia prosta.

1. Wzór i współczynniki

Każda funkcja liniowa (z wyjątkiem prostej pionowej) jest opisywana matematycznie za pomocą wzoru: $$ f(x) = ax + b $$ Często spotkasz się również z zapisem $y = ax + b$.

W powyższym równaniu "iksy" ($x$) i "igreki" ($y$) reprezentują współrzędne poszczególnych punktów leżących na tej prostej. Natomiast $a$ i $b$ to konkretne liczby, stałe współczynniki, które sterują ułożeniem tej prostej na płaszczyźnie.

Współczynnik kierunkowy ($a$): Decyduje o kącie nachylenia prostej oraz o jej monotoniczności:

• Jeśli $a > 0$, funkcja jest rosnąca (wykres idzie pod górę).
• Jeśli $a < 0$, funkcja jest malejąca (wykres opada w dół).
• Jeśli $a = 0$, funkcja jest stała (jest to pozioma linia) – wzór skraca się wtedy do postaci $y = b$.

Wyraz wolny ($b$): Wskazuje dokładny punkt, w którym prosta przecina pionową oś $OY$. Punkt przecięcia z osią $OY$ ma zawsze współrzędne $(0, b)$.

2. Proste równoległe i prostopadłe

Często w zadaniach musimy określić wzajemne położenie dwóch różnych prostych, na przykład: $y = a_1x + b_1$ oraz $y = a_2x + b_2$.

• Równoległość: Dwie proste są do siebie równoległe, gdy mają identyczne nachylenie (nie przecinają się). Ponieważ to współczynnik kierunkowy $a$ odpowiada za nachylenie, warunek równoległości brzmi: $$ a_1 = a_2 $$
• Prostopadłość: Dwie proste przecinają się dokładnie pod kątem prostym, jeśli ich współczynniki kierunkowe są względem siebie przeciwne i odwrotne (iloczyn tych współczynników wynosi $-1$): $$ a_1 \cdot a_2 = -1 $$ Na przykład: jeśli pierwsza prosta ma współczynnik $a_1 = 3$, to prostopadła do niej będzie miała współczynnik $a_2 = -\frac{1}{3}$.

3. Miejsce zerowe

Miejsce zerowe to punkt, w którym wykres przebija poziomą oś $OX$. Aby obliczyć miejsce zerowe funkcji liniowej z jej wzoru, należy przyrównać całość do zera: $$ ax + b = 0 $$ $$ ax = -b $$ $$ x = -\frac{b}{a} $$ Pamiętaj, że ten wzór zadziała tylko i wyłącznie w sytuacji, gdy $a \neq 0$! (Dla prostej poziomej, jeśli leży na osi OX ma nieskończenie wiele miejsc zerowych, a jeśli gdziekolwiek indziej – nie ma ich wcale).

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Skąd wziął się słynny warunek prostopadłości dwóch prostych: $a_1 \cdot a_2 = -1$? Dlaczego iloczyn daje akurat minus jeden?

Klucz tkwi w zrozumieniu, czym matematycznie jest współczynnik kierunkowy "$a$". W matematyce wyższej (trygonometrii) uczy się, że $a$ to w rzeczywistości tangens kąta nachylenia prostej do osi OX, czyli: $a = \operatorname{tg}(\alpha)$. Oznacza to stosunek wzrostu w pionie do przesunięcia w poziomie. Jeśli $a = 3$, to na każdy $1$ krok w prawo, prosta idzie $3$ kroki w górę ($\frac{3}{1}$).

Teraz wyobraź sobie, że obracasz taką prostą idealnie o $90^\circ$, by stworzyć prostą do niej prostopadłą. Co się dzieje z naszym krokiem na płaszczyźnie? Zamiast pójść $1$ krok w prawo i $3$ w górę, nowa prosta po obróceniu pójdzie o $3$ kroki w prawo, ale o $1$ w dół! (zamieniają się osie, a jeden kierunek zyskuje minus, bo wykres teraz maleje). Jej nowy ułamek (stosunek pionu do poziomu) to zatem $-\frac{1}{3}$. Zauważ, że jeśli pomnożymy początkowe $\frac{3}{1}$ oraz nowe $-\frac{1}{3}$, otrzymamy równe $-1$. Ta geometryczna zamiana kroków z plusem/minusem to prawdziwy powód, dla którego obrót o $90^\circ$ powoduje powstanie "przeciwnego i odwrotnego" współczynnika!

Przykładowe zadania