Planimetria (część 1)

Planimetria to potężny dział matematyki zajmujący się geometrią na płaszczyźnie (czyli na kartce papieru). W tym dziale nie wystarczy wykuć jednego, gotowego wzoru – trzeba ruszyć wyobraźnią, umiejętnie dorysowywać pomocnicze wysokości i systematycznie szukać ukrytych zależności między kątami!

1. Kąty i proste

Na początku musimy przypomnieć sobie, jak działają i zachowują się kąty:

• Kąty przyległe: leżą obok siebie na jednej prostej, przylegając do siebie jednym ramieniem. Zawsze sumują się do $180^\circ$.
• Kąty wierzchołkowe: leżą naprzeciwko siebie na przecięciu dwóch prostych (stykają się tylko wierzchołkiem). Zawsze są sobie równe.
• Kąty naprzemianległe i odpowiadające: powstają, gdy dwie równoległe proste zostają przecięte trzecią prostą (tzw. sieczną). Ich znajomość pozwala sprytnie "przerzucać" znane nam miary kątów w zupełnie inne miejsca na rysunku!

2. Trójkąty - najważniejsza figura świata

Każdą figurę płaską (wielokąt) da się podzielić na mniejsze trójkąty. Dlatego to właśnie one są sercem i absolutnym fundamentem planimetrii.

Podstawowe zasady trójkątów:

1. Suma miar kątów wewnętrznych w KAŻDYM trójkącie (niezależnie od jego kształtu) wynosi dokładnie $180^\circ$.
2. Nierówność trójkąta: Suma długości dwóch krótszych boków musi być zawsze stricte większa niż długość najdłuższego boku. Inaczej odcinki matematycznie się nie zepną w zamkniętą figurę! Zapisujemy to warunkiem: $a + b > c$.

Trójkąt prostokątny: Tutaj bezwzględnie króluje Twierdzenie Pitagorasa: $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne, a $c$ to przeciwprostokątna (najdłuższy bok, zawsze leżący naprzeciwko kąta prostego). Bardzo ważną własnością jest również fakt, że środkowa poprowadzona z kąta prostego jest równa dokładnie połowie przeciwprostokątnej!

3. Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa to opowieść o proporcjach. Mówi ono, że jeśli ramiona dowolnego kąta przetniemy dwiema (lub więcej) prostymi równoległymi, to odcinki, które powstaną w wyniku tego cięcia na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiadających im odcinków na drugim ramieniu. Jest to absolutnie kluczowe twierdzenie do rozwiązywania wielu zaawansowanych zadań z trójkątami i trapezami.

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego suma kątów w dowolnym trójkącie to zawsze $180^\circ$? Skąd ta magiczna liczba? Aby to zrozumieć, wykorzystajmy omówione wcześniej kąty naprzemianległe!

Wyobraź sobie dowolny trójkąt leżący na ziemi. Narysuj na samej górze, tuż nad górnym wierzchołkiem trójkąta, poziomą prostą linię, idealnie równoległą do podstawy trójkąta. Co teraz widzimy? Kąt znajdujący się w lewym dolnym rogu trójkąta, z uwagi na równoległość prostych, "odbija się" jako kąt naprzemianległy po lewej stronie naszego górnego wierzchołka. Kąt z prawego dolnego rogu "odbija się" analogicznie po prawej stronie. Na samej górze mamy zatem: lewy dolny kąt, górny kąt oraz prawy dolny kąt trójkąta. Wszystkie trzy kąty ułożyły się ciasno obok siebie, idealnie wypełniając przestrzeń wzdłuż narysowanej przez nas poziomej, prostej linii. A jak wiemy, kąt wzdłuż prostej linii (kąt półpełny) wynosi równe $180^\circ$. Właśnie dlatego te trzy kąty po zsumowaniu ZAWSZE dadzą ten wynik, niezależnie od tego, jak trójkąt jest rozciągnięty!

Przykładowe zadania