Wzory Vieta (Rozszerzenie)

Na poziomie rozszerzonym z matematyki, podczas przerabiania wielomianów i funkcji kwadratowej, prędzej czy później spotkasz się ze wzorami Vieta. Na pierwszy rzut oka mogą wyglądać skomplikowanie, ale pozwalają one błyskawicznie powiązać pierwiastki równania z jego współczynnikami, omijając całkowicie żmudne wyliczanie delty.

1. Czym są wzory Vieta?

Dla standardowego równania kwadratowego zapisanego w postaci ogólnej: $$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (\text{dla } a \neq 0) $$

Jeśli to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste $x_1$ i $x_2$ (czyli jego $\Delta \geq 0$), to zawsze zachodzą dwie zależności zwane wzorami Vieta:

1. Suma pierwiastków równania wynosi: $$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $$
2. Iloczyn pierwiastków równania wynosi: $$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$

Te wzory są wprost bezcenne, gdy w zadaniu maturalnym musisz policzyć zawiłe konstrukcje typu $x_1^2 + x_2^2$ czy $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, a delta wychodzi "brzydka" (np. $\sqrt{17}$). W tego typu zadaniach zawsze staramy się przekształcić otrzymane z polecenia wyrażenia tak, by składały się wyłącznie z samej sumy i samego iloczynu. Wtedy po prostu podstawiamy wzory Vieta!

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Wzory Vieta nie spadły z nieba. Można je w prosty sposób udowodnić (i uwierz, nie zajmuje to dużo czasu), korzystając ze zwykłych wzorów na $x_1$ oraz $x_2$, które już na pewno doskonale znasz!

Wzory na pierwiastki to: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ oraz $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Dowód na sumę ($x_1 + x_2$): Dodajmy te dwa ułamki do siebie. Mają ten sam mianownik, więc możemy je wstawić na wspólną kreskę: $x_1 + x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta} - b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Zauważ, że minus pierwiastek z delty i plus pierwiastek z delty idealnie się redukują! Zostaje nam: $x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a}$ Dwójki się skracają i oto jest! Suma to po prostu $\frac{-b}{a}$.

Dowód na iloczyn ($x_1 \cdot x_2$): Pomnóżmy te dwa ułamki: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \cdot \left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right)$

Mianownik to oczywiście $2a \cdot 2a = 4a^2$. A co mamy w liczniku? Mamy mnożenie $(-b - \sqrt{\Delta})(-b + \sqrt{\Delta})$. Bystre oko dostrzeże tu od razu wzór skróconego mnożenia $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$! Licznik wynosi więc: $(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2 = b^2 - \Delta$.

Ale zaraz, wiemy przecież, że $\Delta = b^2 - 4ac$. Podstawmy to! Licznik: $b^2 - (b^2 - 4ac) = b^2 - b^2 + 4ac = 4ac$.

Złóżmy nasz ułamek w całość: $x_1 \cdot x_2 = \frac{4ac}{4a^2}$ Czwórki się skracają, jedno $a$ z licznika skraca się z potęgą w mianowniku. Zostaje samo $\frac{c}{a}$. Magia!

Przykładowe zadania