Wielomiany

Wielomian to po prostu bardziej rozbudowana wersja funkcji liniowej i kwadratowej. O wielomianach mówimy zazwyczaj w sytuacji, gdy w wyrażeniu algebraicznym pojawiają się potęgi takie jak $x^3, x^4$ i wyższe.

1. Równania wielomianowe

Aby rozwiązać równanie wielomianowe rzędu wyższego niż 2, absolutnie kluczowym celem jest zamiana długiej sumy (np. $x^3 - 3x^2 + 2x$) na postać iloczynową, czyli postać mnożenia przez siebie kilku nawiasów. Jeśli uda nam się doprowadzić równanie do postaci iloczynowej, np. $(x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0$, rozwiązanie jest natychmiastowe! Kiedy mnożenie kilku liczb daje wynik $0$? Wtedy, gdy chociaż jeden z czynników wynosi $0$. Zatem wystarczy przyrównać każdy nawias do zera: $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ $$ x + 2 = 0 \implies x = -2 $$ itd.

Jak zamieniać wielomiany na iloczyny?

1. Wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias (np. z wyrażenia $x^3 + 2x^2$ wyciągamy przed nawias $x^2$, otrzymując $x^2(x + 2)$).
2. Grupowanie wyrazów – dobieramy wyrazy w wielomianie w pary i z każdej pary wyciągamy coś przed nawias tak, aby pozostałe po wyciągnięciu nawiasy okazały się idealnie takie same. Wtedy ten identyczny nawias wyciągamy znowu przed wszystko.
3. Wzory skróconego mnożenia dla potęgi trzeciej (np. suma sześcianów).

2. Twierdzenie Bezouta (Rozszerzenie)

To niezwykle ważne twierdzenie, szczególnie na maturze rozszerzonej! Mówi ono jasno:

Reszta z dzielenia dowolnego wielomianu $W(x)$ przez prosty dwumian $(x - a)$ jest równa $W(a)$.

Co to oznacza w praktyce? Jeśli liczba $a$ jest miejscem zerowym wielomianu (czyli $W(a) = 0$), to reszta z dzielenia wynosi $0$. To oznacza, że nasz wielomian dzieli się bez reszty przez nawias $(x - a)$! To rewelacyjny i często jedyny sposób na rozkładanie potężnych wielomianów (np. 4. i 5. stopnia) na mniejsze, prostsze kawałki.

3. Nierówności wielomianowe i "Wężyk"

Gdy w zadaniu musimy rozwiązać nierówność (np. $(x-2)(x+1)^2 > 0$), szkicujemy specjalny, uproszczony wykres wielomianu (potocznie zwany wężykiem):

1. Zaznaczamy wszystkie wyliczone pierwiastki na poziomej osi.
2. Zaczynamy rysować falę zawsze od prawej strony. Jeśli współczynnik przy najwyższej potędze iksa jest dodatni, zaczynamy rysować od góry. Jeśli ujemny - od dołu.
3. Gdy rysując wężyka napotykamy pierwiastek nieparzystokrotny (czyli taki z nawiasu podniesionego do potęgi 1, 3, 5...), fala przebija oś na drugą stronę.
4. Gdy napotykamy pierwiastek parzystokrotny (np. z nawiasu do potęgi 2 lub 4), fala nie przebija osi, lecz jedynie odbija się od niej.

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego wykres wielomianu (wężyk) "odbija się" od pierwiastków parzystokrotnych, a przy nieparzystokrotnych "przebija" oś?

Wszystko opiera się na tym, jak potęgowanie radzi sobie ze znakami plus i minus. Wyobraźmy sobie pierwiastek wielomianu $x = 2$, który pochodzi z nawiasu podniesionego do kwadratu: $(x-2)^2$. Gdy wstawiamy za iksa liczby leżące tuż po prawej stronie dwójki (np. $2,1$), zawartość nawiasu jest dodatnia, a podniesiona do kwadratu daje małą liczbę dodatnią. Co się dzieje, gdy wstawimy liczbę leżącą tuż po lewej stronie dwójki (np. $1,9$)? Zawartość nawiasu wynosi teraz $-0,1$. Jednak podnosząc $-0,1$ do kwadratu, minus znika i znowu otrzymujemy małą liczbę dodatnią! Właśnie dlatego funkcja przed dwójką i po dwójce przebywa po tej samej stronie osi OX, więc musi się od niej "odbić".

Inaczej jest przy potęgach nieparzystych, np. $(x-2)^3$. Dla liczby $2,1$ otrzymujemy $0,1^3$ (wynik na plusie). Ale dla $1,9$ otrzymujemy $(-0,1)^3$, co daje wynik ujemny, ponieważ minus nie ginie przy potędze nieparzystej. Następuje zmiana znaku, co geometrycznie oznacza, że wykres musi fizycznie przebić oś OX, przechodząc z wartości dodatnich na ujemne (lub odwrotnie)!

Przykładowe zadania