Planimetria (część 2)

Drugie starcie z planimetrią to potężny zestaw zaawansowanych narzędzi. Tym razem poznajemy najcięższą artylerię, która pozwala rozprawić się z najtrudniejszymi zadaniami dowodowymi oraz przygotowuje fundament pod późniejszą stereometrię (geometrię przestrzenną).

1. Twierdzenie Sinusów i Cosinusów (Rozszerzenie)

Zwykłe Twierdzenie Pitagorasa działa tylko i wyłącznie w trójkącie prostokątnym. Co jednak zrobić, gdy zadanie dotyczy trójkąta całkowicie dowolnego (różnobocznego)? Wtedy na ratunek przychodzą te dwa wspaniałe twierdzenia!

Twierdzenie Sinusów: Mówi o tym, że stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta leżącego bezpośrednio naprzeciwko tego boku, jest dla wszystkich trzech boków w danym trójkącie dokładnie taki sam! Co więcej, ten stosunek jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie ($2R$). $$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $$

Twierdzenie Cosinusów: Przez wielu nazywane "podpakowanym Pitagorasem", ponieważ wygląda bardzo podobnie, ale zawiera specjalną "korektę". Pozwala wyliczyć trzeci bok w absolutnie dowolnym trójkącie, o ile tylko znasz dwa pozostałe boki i kąt zawarty między nimi. $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma $$

2. Pola Figur Płaskich

Oprócz klasycznego wzoru $P = \frac{a \cdot h}{2}$, musisz poznać potężniejsze wzory, które pozwalają obliczyć pole trójkąta nawet wtedy, gdy nie masz podanej żadnej wysokości:

• Pole z sinusem: $ P = \frac{1}{2}ab \cdot \sin\gamma $ (gdzie $a$ i $b$ to długości dwóch boków, a $\gamma$ to kąt między nimi).
• Wzór Herona: $ P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $, gdzie $p$ oznacza małą literą... uwaga: połowę obwodu całego trójkąta! Ten wzór pozwala policzyć pole znając jedynie trzy długości boków.

Wzór na pole z sinusem świetnie przekłada się również na równoległobok (który składa się z dwóch identycznych trójkątów złączonych podstawami). Wzór to po prostu: $ P = ab \cdot \sin\alpha $.

3. Kąty w kole i Okręgi

Rozwiązywanie zadań z kołami wymaga znajomości kilku ważnych pojęć:

• Kąt środkowy: Posiada swój wierzchołek idealnie w środku koła. Jego miara kątowa jest wprost równa łukowi, na którym ten kąt się opiera.
• Kąt wpisany: Jego wierzchołek leży gdzieś na obwodzie koła (na jego "krawędzi"). Fundamentalną własnością jest to, że miara kąta wpisanego to zawsze dokładnie połowa miary kąta środkowego (oczywiście pod warunkiem, że opierają się na dokładnie tym samym łuku!).

Warto też pamiętać o okręgach powiązanych z figurami:

• Środek okręgu opisanego na trójkącie ($R$) znajduje się w miejscu przecięcia jego symetralnych boków.
• Środek okręgu wpisanego w trójkąt ($r$) znajduje się w miejscu przecięcia jego dwusiecznych kątów.

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Skąd wziął się słynny wzór Herona na pole trójkąta? Nie będziemy wyprowadzać go w całości, bo to zajęłoby całą stronę, ale pokażemy sam fundament! Wzór Herona wygląda następująco: $ P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $. Skąd tam w ogóle pojawiła się ta dziwna litera $p$ oznaczająca połowę obwodu?

Aby obliczyć pole trójkąta z samych jego boków ($a, b, c$), starożytni matematycy, w tym Heron z Aleksandrii, musieli powiązać ze sobą Twierdzenie Pitagorasa z algebrą. Jeśli opuścimy wysokość $h$ na podstawę $c$, podstawa $c$ zostanie podzielona na dwa mniejsze kawałki: $x$ oraz $(c - x)$. Z Twierdzenia Pitagorasa dla dwóch nowo powstałych trójkątów prostokątnych otrzymujemy układ dwóch równań:

1. $h^2 + x^2 = b^2$
2. $h^2 + (c-x)^2 = a^2$

Wyznaczając z obu równań $h^2$ i przyrównując je do siebie, po długich, algebraicznych manipulacjach i przekształceniach ze wzorami skróconego mnożenia, otrzymujemy wyrażenie składające się wyłącznie z boków $a, b, c$. Gdy wyciągniemy z tego wreszcie wysokość $h$ i podstawimy ją do podstawowego wzoru $P = \frac{1}{2}ch$, wyrażenie pod pierwiastkiem przybiera formę: $ \frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) $. Jak widać, w każdym nawiasie zawsze występuje niemal cały obwód trójkąta ($a+b+c$), od którego tylko coś odejmujemy. Aby uprościć ten ogromny wzór, wpadnięto na genialny pomysł! Postanowiono użyć nowej zmiennej: $p$, zdefiniowanej jako połowa obwodu: $p = \frac{a+b+c}{2}$. Podstawienie tego małego $p$ sprawiło, że gigantyczne ułamki skróciły się i wyrażenie złożyło się do prostej, eleganckiej i łatwej do zapamiętania postaci znanej dziś na całym świecie jako "wzór Herona"!

Przykładowe zadania