Równania i nierówności trygonometryczne

Wchodzimy na wyższy poziom trygonometrii. Zamiast operować na statycznych bokach trójkąta, zajmiemy się teraz falami (taki kształt przyjmują przecież wykresy funkcji trygonometrycznych). Będziemy szukać konkretnych punktów, w których te nieskończone fale osiągają interesujące nas wysokości.

1. Rozwiązywanie elementarnych równań

Równanie typu $\sin(x) = \frac{1}{2}$ to matematyczne zapytanie: "Dla jakich dokładnie kątów $x$ wartość sinusa wynosi równe pół?". Z racji tego, że sinus to nieskończona fala, która powtarza się cyklicznie co $360^\circ$ (czyli w radianach co $2\pi$), takich rozwiązań na wykresie będzie oczywiście nieskończenie wiele!

Schemat postępowania dla sinusa i cosinusa:

1. Z tabeli odczytujemy podstawowe rozwiązanie (nazwijmy je $x_0$). Dla wyniku $\frac{1}{2}$ sinus wynosi $\frac{\pi}{6}$ (czyli $30^\circ$).
2. Zauważamy, że na jednym "pagórku" fali wartość $\frac{1}{2}$ zostaje osiągnięta dwa razy (w drodze do góry, oraz w drodze w dół). Następnie dodajemy okres fali. Zapisujemy odpowiedź pod postacią dwóch niezależnych od siebie serii rozwiązań: $x = x_0 + 2k\pi \quad \lor \quad x = (\pi - x_0) + 2k\pi$ (gdzie $k \in \mathbb{C}$, czyli jest liczbą całkowitą wskazującą numer cyklu).

Schemat postępowania dla tangensa: Tangens zachowuje się nieco inaczej. Powtarza się o wiele częściej, bo dokładnie co $\pi$ (czyli $180^\circ$) i w przeciwieństwie do sinusa, posiada zawsze tylko jedną główną serię rozwiązań: $x = x_0 + k\pi$

2. Wzory na sumę i różnicę kątów

Te zaawansowane wzory musisz bezwzględnie mieć pod ręką, gdy w głównym argumencie funkcji pojawiają się dodawania, np. $\sin(\alpha + \beta)$. Pamiętaj, że sinus i cosinus nie są zwykłymi mnożnikami i NIE MOŻNA ich po prostu "wymnożyć przez nawias"! Używamy do tego dedykowanych wzorów:

• $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
• $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$ (zauważ pułapkę – przy cosinusie dodawania, po prawej stronie wzoru znak zmienia się na minus!)

3. Wzory na podwojony kąt

Bez nich dosłownie ani rusz przy równaniach typu $\sin(2x) = \cos(x)$.

• $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$
• $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ (z jedynki trygonometrycznej można ten wzór łatwo przekształcić np. na $1 - 2\sin^2\alpha$, co często ratuje sytuację w zadaniach!)

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Na lekcjach matematyki bez wahania rozwiązujemy równania takie jak $\sin(x) = \frac{1}{2}$, ucząc się na pamięć dwóch magicznych serii rozwiązań: $x = x_0 + 2k\pi$ oraz $x = (\pi - x_0) + 2k\pi$. Ale dlaczego tak właściwie istnieją akurat dwie serie? Skąd wzięło się to dziwne $(\pi - x_0)$?

Tajemnica kryje się w okręgu trygonometrycznym! Pamiętasz z poprzednich lekcji wierszyk o ćwiartkach układu współrzędnych? "W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus...". Dokładnie tak! Sinus osiąga wartości dodatnie (takie jak nasze $\frac{1}{2}$) w aż dwóch różnych ćwiartkach: pierwszej (od $0$ do $90^\circ$) oraz w drugiej (od $90^\circ$ do $180^\circ$).

Kiedy z tabeli odczytujesz, że dla $\frac{1}{2}$ kąt to $30^\circ$ (czyli $x_0$), to znalazłeś dopiero pierwsze rozwiązanie z pierwszej ćwiartki! Gdzie leży jego "lustrzane odbicie" dające ten sam dodatni wynik? Leży w drugiej ćwiartce! Jak się tam dostać? Musimy cofnąć się od osi poziomej $180^\circ$ (czyli $\pi$) o dokładnie ten sam kąt w lewo. Zatem nasze drugie rozwiązanie to matematyczne $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. W ułamkach to po prostu $\pi - x_0$.

A dlaczego na końcu doklejamy to nieszczęsne $+ 2k\pi$? Ponieważ w trygonometrii możemy kręcić promieniem po okręgu bez końca. Gdy znajdziemy już nasz kąt, możemy do niego dodać pełen obrót o $360^\circ$ (czyli $2\pi$), a wylądujemy fizycznie w dokładnie tym samym miejscu, uzyskując ten sam wynik $\frac{1}{2}$ (podobnie działa silnik spalinowy, przechodząc te same cykle). Literka $k$ to po prostu informacja, ile takich pełnych obrotów wykonaliśmy.

Przykładowe zadania