Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Wchodzimy w świat, w którym niewiadoma "iks" wędruje do góry i staje się wykładnikiem potęgi! Te dwie funkcje to w rzeczywistości dwie strony tej samej monety – funkcja wykładnicza służy do błyskawicznego potęgowania, z kolei logarytm został stworzony właśnie po to, by tę potęgę w razie potrzeby "ściągnąć" z powrotem na dół.

1. Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza przyjmuje postać $f(x) = a^x$. W świecie rzeczywistym opisuje zjawiska, które rozwijają się niewyobrażalnie szybko (tzw. wzrost wykładniczy, np. namnażanie się bakterii) lub gwałtownie zanikają (np. rozpad izotopów promieniotwórczych).

Ważne reguły:

• Podstawa potęgi $a$ musi być zawsze liczbą dodatnią i różną od 1 ($a > 0 \land a \neq 1$).
• Jeśli podstawa jest większa od 1 (np. $f(x) = 2^x$), funkcja jest rosnąca. Jej wartość wystrzeliwuje bardzo szybko do góry.
• Jeśli podstawa to ułamek między 0 a 1 (np. $f(x) = (\frac{1}{2})^x$), funkcja jest malejąca. Wykres opada w stronę zera, ale co ważne, absolutnie nigdy nie dotyka i nie przecina osi OX (tworzy się tzw. asymptota pozioma).
• Z racji tego, że dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej daje zawsze 1 (np. $2^0 = 1$), każdy klasyczny wykres postaci $a^x$ bez dodatkowych przesunięć zawsze przecina oś pionową OY w punkcie $(0, 1)$.

2. Logarytmy

Logarytm to w dużym uproszczeniu pytanie o sam wykładnik. Jeśli widzimy zapis $\log_2 8 = x$, to zadajemy sobie w głowie proste pytanie: "Do jakiej potęgi muszę podnieść małą dwójkę (podstawę), żeby w wyniku otrzymać ósemkę?". Odpowiedź to oczywiście 3, ponieważ $2^3 = 8$. Zatem $x = 3$.

Złote zasady logarytmów:

• Dokładnie tak samo jak w funkcji wykładniczej, podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1. Co niezwykle istotne, liczba logarytmowana (ta obok) musi być bezwzględnie dodatnia! Stanowi to najczęstszą pułapkę przy wyznaczaniu dziedziny.
• Dodawanie logarytmów (o tych samych podstawach): $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$
• Odejmowanie logarytmów (o tych samych podstawach): $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$
• Wyrzucanie potęgi (bardzo ważny wzór): $\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x$ (potęgę liczby logarytmowanej możemy zawsze przenieść przed cały logarytm).

3. Równania i nierówności wykładnicze

Podczas rozwiązywania równań wykładniczych (np. $2^x = 16$), głównym celem jest doprowadzenie obu stron równania do dokładnie tej samej podstawy. Po zamianie strony prawej na $2^4$, równanie przyjmuje formę: $2^x = 2^4$. Skoro po obu stronach mamy te same dwójki w podstawie, możemy je po prostu zignorować i przyrównać do siebie same wykładniki: stąd $x = 4$.

Uwaga na nierówności! Złota i niebezpieczna zasada nierówności głosi, że jeśli obustronnie opuszczasz podstawy mniejsze od 1 (np. ułamki takie jak $\frac{1}{2}$), musisz bezwzględnie odwrócić znak nierówności na przeciwny! Wynika to z faktu, że takie funkcje są malejące.

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego w ogóle wprowadzono ten dziwny i dla wielu niezrozumiały zapis $\log_a x$? Żeby to zrozumieć, musimy cofnąć się o ponad 400 lat do czasów, gdy nie było na świecie żadnych kalkulatorów, a astronomowie musieli ręcznie wymnażać lub dzielić przez siebie gigantyczne liczby (np. odległości między planetami). Wykonanie jednego działania zajmowało im czasem całe dnie.

Na ratunek przyszedł szkocki matematyk John Napier (a później Henry Briggs). Odkryli oni niezwykłą własność potęg. Wiemy ze zwykłych zasad matematyki, że podczas mnożenia potęg o takich samych podstawach, ich wykładniki wystarczy do siebie dodać: $$ a^x \cdot a^y = a^{x+y} $$

Matematycy zauważyli, że każdą liczbę na świecie można zapisać jako jakąś potęgę (np. liczby $10$). Jeśli chcielibyśmy pomnożyć przez siebie dwie bardzo niewygodne liczby, moglibyśmy najpierw sprawdzić (w specjalnej, przygotowanej książce), jaką potęgą dziesiątki są obie te liczby. Następnie zamiast je żmudnie wymnażać, moglibyśmy dodać pod kreską ich wykładniki!

Właśnie te ułamkowe wykładniki zaczęto nazywać "logarytmami". Stworzono gigantyczne tablice logarytmiczne przypominające dzisiejsze książki telefoniczne. Gdy fizyk lub astronom chciał pomnożyć gigantyczne liczby, otwierał książkę, odczytywał logarytmy tych dwóch liczb, zwyczajnie je do siebie dodawał, a następnie znów korzystał z tablicy, by odwrócić ten proces i uzyskać końcowy wynik. Logarytmy to jedno z najważniejszych wynalazków ery przed-komputerowej, które zrewolucjonizowało naukę, ponieważ zmieniło trudne mnożenie na o wiele prostsze dodawanie (co do dziś oddaje wzór: $\log(x) + \log(y) = \log(x \cdot y)$).

Przykładowe zadania