Rachunek prawdopodobieństwa

Kiedy nauczysz się już liczyć dostępne opcje w Kombinatoryce, Rachunek Prawdopodobieństwa to tak naprawdę po prostu nałożenie jednego wyniku na drugi. Ten dział matematyki precyzyjnie określa szansę (w procentach lub częściej w ułamkach), że wydarzy się określone zjawisko.

1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

To absolutny fundament. Wyobraź sobie, że losujesz kulę z urny. Twoja szansa na sukces (nazwijmy ten sukces zdarzeniem $A$) to po prostu stosunek liczby zdarzeń, które Ci pasują, do WSZYSTKICH możliwych zdarzeń w całym układzie (ten zbiór wszystkich opcji nazywamy grecką literą Omega $\Omega$).

Wzór na prawdopodobieństwo: $$ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} $$ Gdzie $|A|$ to matematyczna moc zbioru A (liczba pasujących nam sukcesów), a $|\Omega|$ to moc omegi (liczba wszystkich możliwych opcji losowania).

Pamiętaj o złotej zasadzie: prawdopodobieństwo ZAWSZE jest liczbą z przedziału od $0$ do $1$ (od $0%$ do $100%$). Jeśli z Twoich obliczeń wyniknie na końcu ułamek taki jak $\frac{5}{4}$ (czyli $1.25$), to wiedz, że natychmiast musisz zacząć liczyć od nowa, ponieważ prawdopodobieństwo powyżej $100%$ jest fizycznie i matematycznie niemożliwe!

2. Działania na zdarzeniach

Wypisane zdarzenia losowe oznaczamy standardowo dużymi literami (np. $A, B$). Możemy na nich wykonywać działania operujące na zbiorach znanych z pierwszej klasy!

• $A \cup B$ (suma): Wydarzy się zdarzenie A LUB B (lub oba na raz, przynajmniej jedno z nich). Wzór na sumę to $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• $A \cap B$ (część wspólna / iloczyn): Wydarzy się ZARÓWNO zdarzenie A, jak i zdarzenie B w tym samym czasie.
• $A'$ (zdarzenie przeciwne): Oznacza to wszystko to, co kompletnie NIE JEST zdarzeniem A (dopełnienie do Omegi). Wzór to $P(A') = 1 - P(A)$. Jest to genialny "hack" ułatwiający pracę przy zadaniach typu "policz prawdopodobieństwo wylosowania CO NAJMNIEJ jednej reszki". O wiele szybciej jest bowiem policzyć szansę na wylosowanie ZERA reszek i po prostu odjąć ten wynik od jedynki!

3. Drzewka stochastyczne

Zamiast bawić się we wzory i symbole Newtona, trudne wieloetapowe zadania losowe najlepiej po prostu narysować! Na gałęziach narysowanego drzewka wpisujemy w ułamkach prawdopodobieństwa danych etapów losowania.

Zasady drzewka:

1. Prawdopodobieństwa na wszystkich gałęziach wychodzących z jednego, wspólnego "węzła" (kropki) muszą idealnie sumować się do 1 (do $100%$).
2. Gdy idziemy wzdłuż jednej wybranej drogi (gałąź po gałęzi w dół od samego początku aż do końca), prawdopodobieństwa na napotkanych gałęziach przez siebie mnożymy (tzw. reguła iloczynu).
3. Jeśli interesujący nas wynik (np. wylosowanie kuli białej) znajduje się na samym końcu kilku różnych, oddzielnych ścieżek, otrzymane wyniki tych ścieżek do siebie dodajemy (tzw. reguła sumy).

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego we wzorze na prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń ($P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$) na samym końcu musimy nagle odejmować jakąś część wspólną? Skąd to się wzięło?

Aby to zrozumieć, wyobraź sobie talię 52 kart. Chcesz policzyć prawdopodobieństwo wylosowania Asa (zdarzenie $A$) LUB wylosowania karty w kolorze Pik (zdarzenie $B$). Suma $A \cup B$ oznacza w języku polskim spójnik "LUB". Chcemy więc Asa LUB Pika (dowolnego Asa albo dowolnego Pika).

• Szansa na Asa to $P(A) = \frac{4}{52}$, bo w całej talii mamy 4 Asy (Pik, Trefl, Karo, Kier).
• Szansa na Pika to $P(B) = \frac{13}{52}$, bo w jednym kolorze (Pik) jest 13 kart (od dwójki aż do Asa).

Jeśli zwyczajnie dodasz te dwie liczby (co podpowiada intuicja): $P(A) + P(B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} = \frac{17}{52}$. Ale zaraz, policzmy to ręcznie! Asy to 4 karty. Piki to 13 kart. Ale chwila... jednym z tych Pików jest As Pik!

Dodając po prostu zbiory do siebie, policzyłeś kartę "As Pik" DWA RAZY. Raz jako jednego z czterech Asów, a po raz drugi jako jednego z trzynastu Pików. Dlatego właśnie matematycy stworzyli wzór z odejmowaniem. Aby uzyskać prawidłowy i rzetelny wynik, musimy na końcu odjąć to, co przypadkowo policzyliśmy podwójnie (czyli część wspólną $A \cap B$, w tym wypadku Asa Pik, którego prawdopodobieństwo wynosi $\frac{1}{52}$). Zatem poprawne wyliczenie to $\frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$. Logiczne, prawda?

Przykładowe zadania