Geometria analityczna w układzie współrzędnych

Geometria analityczna to genialny most łączący algebrę (wzory, równania) z geometrią (rysowaniem figur). Każda figura, prosta i punkt ma tutaj swoje precyzyjne współrzędne, dzięki czemu wszystko da się matematycznie "wyliczyć" bez używania linijki czy kątomierza!

1. Odległość punktów i środek odcinka

Mając podane dwa punkty $A=(x_1, y_1)$ oraz $B=(x_2, y_2)$, możemy bez problemu obliczyć absolutną długość łączącego je odcinka $AB$ ze wzoru (który jest po prostu twierdzeniem Pitagorasa w przebraniu): $$ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Z kolei, aby znaleźć środek odcinka $S$, wystarczy policzyć klasyczną średnią arytmetyczną jego dwóch końców (osobno dla "iksów" oraz "igreków"): $$ S = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) $$

2. Prosta i odległość punktu od prostej

Z wcześniejszych klas doskonale znamy już postać kierunkową $y = ax + b$. W geometrii analitycznej bardzo często używamy jednak alternatywnej, postaci ogólnej prostej: $$ Ax + By + C = 0 $$ Jest ona niezwykle przydatna, gdy szukamy najkrótszej odległości (nazwijmy ją $d$) jakiegoś konkretnego punktu $P=(x_0, y_0)$ od tej właśnie prostej. Wzór na tę odległość to: $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

3. Równanie okręgu

Okrąg to zbiór wszystkich punktów oddalonych dokładnie o taki sam dystans (promień $r$) od jednego, centralnego punktu (środka $S=(a, b)$). Opisujemy go równaniem kanonicznym: $$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$ Jeśli okrąg jest ułożony idealnie na środku układu współrzędnych (ma środek w punkcie $(0,0)$), wzór maksymalnie się upraszcza do postaci: $x^2 + y^2 = r^2$.

4. Wektory (Podstawy)

Wektor najłatwiej wyobrazić sobie jako strzałkę na płaszczyźnie. Charakteryzuje go kierunek, zwrot (gdzie wskazuje grot) i długość. Zapisujemy go w nawiasach kwadratowych, obliczając różnicę współrzędnych końca i początku strzałki. Dla wektora $\vec{AB}$: $$ \vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A] $$ Wektory możemy bezpiecznie dodawać do siebie (dodając iksy do iksów, igreki do igreków) oraz mnożyć przez dowolną liczbę (co fizycznie wydłuża je, skraca lub odwraca ich zwrot).

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego wzór na odległość dwóch punktów ($|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$) wygląda niemal identycznie jak legendarne Twierdzenie Pitagorasa? To dlatego, że nim właśnie jest!

Wyobraź sobie dwa dowolne punkty na kartce w kratkę (w układzie współrzędnych): $A=(1, 2)$ oraz $B=(4, 6)$. Chcesz zmierzyć odległość między nimi (długość odcinka $AB$), ale możesz poruszać się tylko wzdłuż osi układu (prawo-lewo i góra-dół). Jeśli od punktu $A$ pójdziesz poziomo w prawo, a od punktu $B$ pójdziesz pionowo w dół, te dwie nowe linie przetną się pod kątem prostym, tworząc z odcinkiem $AB$ idealny trójkąt prostokątny!

Odcinek $AB$ to nasza przeciwprostokątna $c$. Jaka jest długość poziomej przyprostokątnej (nazwijmy ją $a$)? To po prostu różnica "iksów" obu punktów (czyli $4 - 1 = 3$). Matematycznie zapiszemy to jako $(x_2 - x_1)$. Jaka jest długość pionowej przyprostokątnej (nazwijmy ją $b$)? To różnica "igreków" obu punktów (czyli $6 - 2 = 4$). Matematycznie zapiszemy to jako $(y_2 - y_1)$.

Skoro z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że $c^2 = a^2 + b^2$, to w naszym przypadku długość odcinka $|AB|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Aby otrzymać samo $|AB|$, wystarczy wszystko spierwiastkować! Kartezjusz, twórca układu współrzędnych, genialnie przeniósł w ten sposób całą starożytną geometrię do świata algebry.

Przykładowe zadania