Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa to prawdopodobnie najbardziej znany wzór na świecie, i na dodatek przydaje się wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z kątem prostym (w architekturze, budownictwie czy nawigacji).

Teoria: Jak to działa?

Twierdzenia Pitagorasa używamy wyłącznie w trójkątach prostokątnych (czyli takich, które mają dokładnie jeden kąt o mierze $90^\circ$).

Podstawowy wzór wygląda następująco: $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Co oznaczają poszczególne litery?

• $a$ oraz $b$ to przyprostokątne – dwa krótsze boki, które stykają się ze sobą, tworząc kąt prosty (zupełnie jak dwie ściany w rogu pokoju).
• $c$ to przeciwprostokątna – najdłuższy bok trójkąta, leżący dokładnie naprzeciwko kąta prostego.

Definicja słowna brzmi: pole kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku (przeciwprostokątnej) jest dokładnie równe sumie pól kwadratów zbudowanych na dwóch krótszych bokach (przyprostokątnych).

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Twierdzenie Pitagorasa znano i stosowano w Egipcie, Babilonii i Chinach na długo przed narodzinami samego Pitagorasa! Starożytni budowniczowie musieli mieć sposób na wyznaczanie idealnego kąta prostego przy budowie piramid czy świątyń. Jak to robili bez dzisiejszych kątomierzy?

Używali sznura z zawiązanymi trzynastoma węzłami w równych odstępach. Ten sznur dzielił się na $12$ równych odcinków. Budowniczowie brali trzy paliki i wbijali je w ziemię tak, by napięty sznur utworzył trójkąt o bokach długości $3$, $4$ oraz $5$ odcinków (zauważ, że $3+4+5=12$). Ponieważ $3^2 + 4^2 = 5^2$ (czyli $9 + 16 = 25$), taki trójkąt z matematycznego punktu widzenia musi być trójkątem prostokątnym! Kąt między bokami o długości $3$ i $4$ był idealnie prosty, co pozwalało na stawianie perfekcyjnie pionowych murów. Trójkąt o bokach $3, 4, 5$ do dziś nazywa się trójkątem egipskim.

Sam Pitagoras (lub jego uczniowie) był prawdopodobnie pierwszym, który przedstawił twardy, matematyczny dowód na to, że ta zasada działa dla każdego trójkąta prostokątnego na świecie, a nie tylko dla tego konkretnego ze sznura.

Przykłady krok po kroku

Przykład 1: Obliczanie najdłuższego boku ($c$) Wyobraź sobie, że znasz długości krótszych boków: $a=6$ oraz $b=8$. Szukamy najdłuższego boku $c$.

1. Podstawiamy znane nam liczby do wzoru: $$ 6^2 + 8^2 = c^2 $$
2. Obliczamy kwadraty obu liczb: $$ 36 + 64 = c^2 $$ $$ 100 = c^2 $$
3. Aby pozbyć się kwadratu i znaleźć samo $c$, musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy: $$ c = \sqrt{100} $$ $$ c = 10 $$

Przykład 2: Obliczanie krótszego boku ($a$ lub $b$) Tym razem znamy najdłuższy bok ($c=13$) oraz jeden z krótszych ($b=12$). Szukamy boku $a$.

1. Podstawiamy liczby do wzoru: $$ a^2 + 12^2 = 13^2 $$
2. Obliczamy kwadraty: $$ a^2 + 144 = 169 $$
3. Teraz rozwiązujemy równanie, przenosząc $144$ na prawą stronę (ze zmianą znaku): $$ a^2 = 169 - 144 $$ $$ a^2 = 25 $$
4. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy: $$ a = \sqrt{25} $$ $$ a = 5 $$

Przykładowe zadania