Objętość Brył

Objętość (oznaczana wielką literą $V$ od angielskiego słowa volume) to miara mówiąca nam, ile trójwymiarowej przestrzeni zajmuje dana bryła. Możesz o tym myśleć jak o pytaniu: "ile wody muszę wlać do środka, żeby wypełnić tę figurę po same brzegi?".

Objętość graniastosłupów i walców

Podstawowy wzór, który działa dla wszystkich brył "prostych" (takich, które na dole i na górze mają identyczny kształt, np. walec, sześcian, prostopadłościan), jest niezwykle logiczny:

$$ V = P_p \cdot h $$

Gdzie:

• $P_p$ to pole podstawy (musisz je obliczyć w zależności od tego, czy bryła stoi na kwadracie, trójkącie, czy na kole)
• $h$ to wysokość bryły (czyli jak wysoko ta podstawa została "wyciągnięta" do góry)

A co z bryłami spiczastymi?

Ostrosłupy i stożki to bryły, które mają podstawę, ale zwężają się płynnie do jednego punktu (wierzchołka) na samej górze. Ze względu na to zwężenie, zajmują o wiele mniej miejsca w przestrzeni niż ich "proste" odpowiedniki o tej samej podstawie i wysokości.

Dlatego wzór na objętość ostrosłupa i stożka różni się tylko jednym, kluczowym elementem:

$$ V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h $$

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego w ostrosłupach i stożkach pojawia się nagle ułamek $\frac{1}{3}$? Czy one są dokładnie trzy razy mniejsze od graniastosłupów i walców? Tak, dokładnie tak jest! Możesz to nawet udowodnić empirycznie w domu, jeśli masz np. ostrosłup i graniastosłup o tej samej podstawie i tej samej wysokości (np. zabawki lub klocki, do których można nalać wody).

Jeżeli napełnisz ostrosłup wodą po same brzegi i przelejesz tę wodę do graniastosłupa, zauważysz, że woda wypełniła dokładnie jedną trzecią jego wysokości. Musiałbyś napełnić ostrosłup jeszcze dwa razy (łącznie 3 napełnienia), aby woda przelała się z graniastosłupa. Matematycznie wynika to z analizy objętości (tzw. całek), ale już starożytni Grecy (jak Archimedes) potrafili udowodnić to za pomocą metody wyczerpywania. Zwężanie się bryły do jednego punktu jest na tyle "ostre", że "zjada" dokładnie $\frac{2}{3}$ przestrzeni, zostawiając nam tylko $\frac{1}{3}$ oryginalnej objętości!

Przykładowe zadania