Wyznaczniki 2x2 i 3x3

Po opanowaniu podstawowych operacji na macierzach, naturalnym kolejnym krokiem jest nauka obliczania wyznacznika. Wyznacznik to pojedyncza, bardzo konkretna liczba przypisana do danej macierzy, która niesie ze sobą ogromną ilość informacji (określa na przykład, czy dany układ równań ma jedno rozwiązanie, czy układów jest nieskończenie wiele). Najważniejsza zasada: wyznacznik obliczamy wyłącznie dla macierzy kwadratowych (czyli takich, które posiadają dokładnie tyle samo wierszy, co kolumn, jak $2 \times 2$ czy $3 \times 3$). Oznaczamy go pionowymi kreskami, np. $|A|$, lub skrótem $\det A$.

1. Wyznacznik $2 \times 2$ - Metoda na krzyż

Obliczanie wyznacznika dla macierzy $2 \times 2$ jest wyjątkowo proste. Wykorzystujemy do tego wizualną metodę mnożenia po przekątnych (często nazywaną metodą "na krzyż").

Mnożymy przez siebie dwa elementy leżące na głównej przekątnej (schodzącej w dół z lewej do prawej), a następnie odejmujemy od tego iloczyn elementów na drugiej, mniejszej przekątnej (schodzącej w górę): $$ \det \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} = (a \cdot d) - (b \cdot c) $$

Przykład numeryczny: $$ \det \begin{bmatrix} 3 & 4 \ 2 & 5 \end{bmatrix} = (3 \cdot 5) - (4 \cdot 2) = 15 - 8 = 7 $$

2. Wyznacznik $3 \times 3$ - Reguła Sarrusa

Gdy macierz rozrasta się do rozmiaru $3 \times 3$, klasyczna metoda na krzyż staje się niewystarczająca. Z pomocą przychodzi ulepszony algorytm wizualny, zwany powszechnie Regułą Sarrusa.

Proces ten polega na dopisaniu dwóch pierwszych kolumn macierzy bazowej po jej prawej stronie. Tworzy to rozszerzoną siatkę, na której wyznaczamy trzy długie przekątne opadające oraz trzy przekątne rosnące.

Wyobraźmy to sobie na ogólnej macierzy: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Krok 1: Dopisujemy z prawej strony pionową kreskę i przepisujemy dwie pierwsze kolumny: $$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 \ 4 & 5 \ 7 & 8 \end{matrix} $$

Krok 2: Wyznaczamy trzy przekątne opadające w dół z lewej do prawej strony. Mnożymy elementy na każdej z nich i zliczamy sumę. Te przekątne dodajemy do naszego końcowego wyniku (często mówi się, że są one "na plus"): $(1\cdot5\cdot9) + (2\cdot6\cdot7) + (3\cdot4\cdot8) = 45 + 84 + 96 = 225$

Krok 3: Wyznaczamy trzy przekątne rosnące w górę z lewej do prawej strony (lub równoważnie: opadające z prawej do lewej). Ich iloczyny absolutnie zawsze odejmujemy od końcowego wyniku (często mówi się, że są one "na minus"): $-(7\cdot5\cdot3) - (8\cdot6\cdot1) - (9\cdot4\cdot2) = -105 - 48 - 72 = -225$

Krok 4: Składamy obie części w jedno finalne równanie: $225 - 225 = 0$. W tym konkretnym przypadku wyznacznik wynosi zero.

Jeśli wyznacznik badanej macierzy wychodzi równy $0$, taką macierz nazywamy w matematyce osobliwą. Z macierzy osobliwej nie da się chociażby skonstruować macierzy odwrotnej (co w algebrze jest odpowiednikiem niemożności dzielenia przez zero). Dla macierzy o wymiarach większych niż $3 \times 3$ (jak $4 \times 4$), reguła Sarrusa przestaje działać. Należy wtedy posiłkować się Rozwinięciem Laplace'a lub operacjami na wierszach (Eliminacją Gaussa).

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Reguła Sarrusa wydaje się na pierwszy rzut oka całkowicie "magicznym" i pozbawionym logicznych podstaw przepisem. Skąd pomysł, by dopisywać obok dwie kolumny i losowo mnożyć wartości na skos?

Prawdziwa matematyczna definicja wyznacznika (tzw. wzór Leibniza) mówi, że wyznacznik dowolnej macierzy to suma wszystkich możliwych iloczynów po jednym elemencie z każdego wiersza i każdej kolumny, opatrzonych odpowiednim znakiem (plusem lub minusem w zależności od permutacji i rzędu elementów). W przypadku macierzy $2 \times 2$, możliwości wybrania jednego elementu z każdego wiersza i każdej kolumny są tylko dwie:

1. Element z pierwszego wiersza/pierwszej kolumny ($a$) pomnożony przez element drugiego wiersza/drugiej kolumny ($d$). Stąd iloczyn $ad$.
2. Element z pierwszego wiersza/drugiej kolumny ($b$) pomnożony przez element z drugiego wiersza/pierwszej kolumny ($c$). Stąd iloczyn $bc$.

W przypadku macierzy $3 \times 3$ takich permutacji (kombinacji) jest już $3!$, czyli $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. Musimy zlokalizować sześć różnych iloczynów. Pierre Frédéric Sarrus dostrzegł, że przepisywanie dwóch kolumn poza krawędź macierzy w idealny i wizualny sposób układa te sześć kombinacji Leibniza w proste, skośne rzędy, wykluczając konieczność zgadywania, jaki element nie został jeszcze przemnożony. To nie magia, to po prostu graficzne uproszczenie sztywnego, analitycznego wzoru kombinatorycznego!

Przykładowe zadania