Podstawy Macierzy

Na pierwszym roku studiów technicznych lub ekonomicznych z pewnością spotkasz się z algebrą liniową i pojęciem macierzy. Macierz to w rzeczywistości bardzo użyteczne narzędzie, które pozwala na matematyczne zorganizowanie i grupowanie dużych zestawów równań lub danych.

1. Budowa i wymiary macierzy

Z matematycznego punktu widzenia, macierz to prostokątna tablica wypełniona liczbami. Aby móc poprawnie operować na macierzach, musisz w pierwszej kolejności opanować odczytywanie ich wymiarów. Zawsze podajemy najpierw liczbę wierszy (linii poziomych), a dopiero potem liczbę kolumn (linii pionowych).

Rozważmy przykładową macierz $A$ o wymiarach $2 \times 3$ (dwa na trzy): $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \ 4 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$ Składa się ona z 2 wierszy i 3 kolumn. Dobrym sposobem na zapamiętanie tej kolejności jest wyobrażenie sobie wizyty w bloku: aby dostać się do mieszkania, najpierw wchodzisz na odpowiednie piętro (wiersz), a następnie szukasz numeru drzwi na korytarzu (kolumna).

2. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez skalar

Operacje te są bardzo intuicyjne, jednak posiadają rygorystyczny warunek brzegowy: aby dodać lub odjąć dwie macierze od siebie, muszą one posiadać idealnie równe wymiary. Jeśli wymiary się zgadzają, wykonujemy operację "pozycja do pozycji": $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & -1 \ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+(-1) \ 3+0 & 4+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 1 \ 3 & 6 \end{bmatrix} $$

Z kolei mnożenie macierzy przez pojedynczą liczbę (zwaną skalarem) polega na zwyczajnym przemnożeniu każdej pojedynczej liczby wewnątrz macierzy przez ten skalar: $$ 3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \ 0 & -12 \end{bmatrix} $$

3. Mnożenie dwóch macierzy (Wiersz razy Kolumna)

To najtrudniejsza operacja, na której polega wielu studentów. Mnożenie dwóch macierzy absolutnie nie polega na mnożeniu "pozycja przez pozycję". Stosujemy tu zasadę Wiersz pierwszej macierzy $\times$ Kolumna drugiej macierzy.

Aby pomnożyć macierz $A$ przez macierz $B$, liczba kolumn macierzy $A$ musi być równa liczbie wierszy macierzy $B$. Wymiary wynikowej macierzy będą stanowić "zewnętrzne" krawędzie tego zestawienia. Zatem macierz $(2 \times \mathbf{3})$ pomnożona przez macierz $(\mathbf{3} \times 4)$ wyprodukuje macierz ostateczną o wymiarach $(2 \times 4)$.

Aby policzyć element w lewym górnym rogu nowej macierzy, bierzemy pierwszy wiersz pierwszej macierzy i pierwszą kolumnę drugiej macierzy. Mnożymy ich elementy parami i dodajemy wyniki do siebie. Ważna uwaga: mnożenie macierzy nie jest przemienne! W zdecydowanej większości przypadków $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego mnożenie macierzy zostało zdefiniowane w tak nieintuicyjny sposób, oparty na regule "wiersz razy kolumna", zamiast prostego mnożenia odpowiadających sobie elementów?

Odpowiedź kryje się w głównym zastosowaniu macierzy, jakim są układy równań liniowych oraz przekształcenia wektorów w przestrzeni. Wyobraźmy sobie prosty układ dwóch równań: $2x + 3y = 8$ $4x - y = 2$

Matematycy chcieli zapisać ten system w eleganckiej formie jednego równania mnożenia: $A \cdot \vec{X} = \vec{B}$. Aby to osiągnąć, rozdzielili system na macierz współczynników ($A$), wektor niewiadomych ($\vec{X}$) i wektor wyników ($\vec{B}$): $$ \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \ 2 \end{bmatrix} $$

Gdyby mnożenie macierzy polegało na wymnażaniu pozycji jeden do jednego, to rozbicie nigdy nie mogłoby wrócić do oryginalnego układu równań. Konieczne było stworzenie takiej mechaniki, w której górny wiersz macierzy $A$ (czyli liczby 2 i 3) naturalnie połączy się w parę z elementami wektora (x i y), by odtworzyć równanie $2x + 3y = 8$. Z tego powodu zasada "wiersz z lewej mnoży się z kolumną z prawej" stała się żelaznym, geometrycznym i algebraicznym standardem, na którym opiera się dziś cała współczesna inżynieria oraz programowanie trójwymiarowe.

Przykładowe zadania