Statystyka opisowa

Statystyka to ta dziedzina matematyki, z którą każdy z nas ma do czynienia niemal codziennie w dorosłym życiu. To fascynująca nauka o tym, jak logicznie zbierać, organizować i (co najważniejsze) poprawnie interpretować ogromne ilości danych z ankiet czy zarobków, by wyciągać z nich rzetelne wnioski.

1. Miary tendencji centralnej

Służą one do pokazania obiektywnego "środka" badanych danych, czyli w uproszczeniu – mają odpowiedzieć na pytanie: "jak wypada przeciętny badany?".

• Średnia arytmetyczna ($\bar{x}$): Klasyk znany ze szkoły. Sumujemy po prostu wszystkie wartości i dzielimy przez ich całkowitą liczbę. Średnia ma jednak jeden ogromny mankament: jest potwornie wrażliwa na skrajności. Jeśli do pokoju pełnego biednych studentów wejdzie nagle jeden miliarder, to matematycznie, średnio każdy z nich w pokoju nagle stanie się milionerem.
• Średnia ważona: Bardzo podobna do arytmetycznej, ale z góry przypisuje poszczególnym elementom różną wagę (np. ocena ze sprawdzianu liczy się w dzienniku potrójnie, a z zadania domowego tylko pojedynczo).
• Mediana (M): To zdecydowanie najbardziej obiektywny "środek". Ustawiamy wszystkie nasze wyniki równiutko w kolejności od najmniejszego do największego (rosnąco). Mediana to dokładnie ta liczba, która fizycznie leży idealnie w połowie tego rzędu! Jeśli elementów jest parzyście (i brakuje jednego, idealnego środka), mediana to po prostu średnia dwóch środkowych liczb. W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, mediana jest całkowicie odporna na skrajności (nawet na pensję miliardera z naszego przykładu!).
• Dominanta (D): Zwana inaczej przez matematyków modą. To po prostu ten wynik, który w zebranym zbiorze powtarza się zdecydowanie najczęściej (dominuje nad resztą).

2. Miary rozproszenia

Służą one do skontrolowania, czy badane dane są bardzo blisko siebie zbite, czy też chaotycznie rozrzucone na lewo i prawo. Wyobraź sobie, że jeden uczeń dostaje w szkole same równe trójki, a drugi uczeń dostaje skrajne jedynki i szóstki. Obaj mają na świadectwie taką samą średnią (ok. $3.0$), ale ten drugi charakteryzuje się znacznie większym "rozproszeniem" wyników nauczania!

• Wariancja ($\sigma^2$): Rygorystyczny matematyczny sposób na obliczenie faktycznego rozrzutu zebranych danych.
• Odchylenie standardowe ($\sigma$): To absolutnie kluczowe pojęcie. To po prostu pierwiastek kwadratowy wyciągnięty ze wspomnianej wyżej wariancji. Odchylenie mówi nam wprost, o ile średnio w dół lub w górę przeciętny pojedynczy wynik z grupy odchyla się od samej średniej. Im mniejsze wyjdzie Ci odchylenie, tym bardziej zgrany i przewidywalny w zachowaniu jest dany zbiór danych.

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego w ogóle matematycy wymyślili skomplikowaną wariancję (z jej uciążliwym podnoszeniem wyników do kwadratu), skoro zależało nam po prostu tylko na policzeniu średniej odległości wszystkich wyników od samej średniej?

Zróbmy eksperyment. Załóżmy, że mamy w klasie tylko trzy oceny: $2, 3, 4$. Zwykła średnia arytmetyczna wynosi tu oczywiście równe $3$. Gdybyśmy chcieli "na chłopski rozum" policzyć przeciętną, średnią różnicę tych ocen od średniej, zrobilibyśmy tak:

• Ocena "dwa" różni się od średniej "trzy" dokładnie o $-1$.
• Ocena "trzy" różni się o $0$.
• Ocena "cztery" różni się o $+1$.

Spróbujmy teraz, zachowując logikę, wyciągnąć średnią z tych wyliczonych przed chwilą różnic ($-1, 0, +1$). Sumujemy je wszystkie w liczniku i dzielimy przez trzy. Co otrzymujemy? Suma różnic wynosi... równe zero! Odchylenia poniżej naszej średniej (zjawiska ujemne) idealnie zniosły się z odchyleniami powyżej średniej (zjawiska dodatnie). Matematycy wściekli się, bo okazało się, że absolutnie w każdym zestawie danych, suma zwykłych różnic od średniej arytmetycznej ZAWSZE wyniesie perfekcyjne $0$.

Trzeba było zatem znaleźć na gwałt sprytny sposób, by zlikwidować uporczywy znak minus, zachowując proporcje odstępu. Mogli oczywiście użyć po prostu bezwzględnej wartości (co zresztą w statystyce też się czasem robi i nazywa "odchyleniem przeciętnym"), ale okazało się, że sztuczne, na siłę podnoszenie każdej powstałej różnicy do potęgi drugiej (ponieważ kwadrat każdej, nawet ujemnej liczby jest zawsze dodatni!) ma w rachunku prawdopodobieństwa dużo lepsze właściwości. Ponieważ jednak wszystko zostało na tym etapie sztucznie podniesione do kwadratu (tworząc olbrzymią wariancję), na samym końcu całego procesu wyliczania musimy tę potęgę ostatecznie "cofnąć" przy pomocy pierwiastka kwadratowego. I właśnie tak sztucznie ukształtowało się w historii wspaniałe odchylenie standardowe!

Przykładowe zadania