Wstęp do równań

Równanie matematyczne najłatwiej wyobrazić sobie jako wagę szalkową, która musi znajdować się w idealnej równowadze. Lewa strona znaku równości ($=$) musi zawsze "ważyć" dokładnie tyle samo, co prawa strona. Naszym zadaniem jest zazwyczaj znalezienie wartości ukrytej pod symbolem niewiadomej (najczęściej $x$), tak aby ta równowaga została zachowana.

Jak rozwiązywać równania?

Twoim celem jest doprowadzenie do sytuacji, w której niewiadoma ($x$) zostanie zupełnie sama po jednej stronie równania (na jednej szalce wagi), a wszystkie wiadome liczby znajdą się po drugiej stronie.

Kluczowa zasada, o której musisz pamiętać: jeśli przenosisz jakikolwiek element z jednej strony równania na drugą, zawsze zmieniasz jego znak na przeciwny!

Przykład: $$ x + 5 = 12 $$

Chcemy uzyskać samego $x$. Przenosimy zatem $+5$ na prawą stronę. Ponieważ zmieniamy stronę, $+5$ staje się $-5$:

$$ x = 12 - 5 $$ $$ x = 7 $$

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego przy przenoszeniu zmieniamy znak na przeciwny? To nie jest żadna "magiczna" zasada, lecz po prostu skrót myślowy!

Wróćmy do metafory wagi szalkowej, która jest w równowadze: $x + 5 = 12$. Jeśli z obu szalek wagi zdejmiemy dokładnie ten sam ciężar (odejmiemy tę samą liczbę), waga nadal pozostanie w równowadze, prawda? Odejmijmy zatem liczbę $5$ z lewej oraz z prawej strony równania: $$ x + 5 - 5 = 12 - 5 $$

Po lewej stronie mamy $5 - 5$, co daje $0$. Zostaje sam $x$. Po prawej stronie mamy $12 - 5$. Daje nam to dokładnie: $$ x = 12 - 5 $$

Dla oszczędności czasu, matematycy przestali zapisywać obustronne odejmowanie, a zamiast tego wprowadzili zasadę "przenoszenia na drugą stronę ze zmienionym znakiem". Efekt matematyczny jest dokładnie ten sam, ale obliczenia wykonuje się znacznie szybciej. Podobna zasada dotyczy mnożenia i dzielenia – jeśli obustronnie podzielisz równanie, osiągniesz pożądany efekt (tzw. operacje obustronne).

Przykładowe zadania