Liczby ujemne

Liczby ujemne najłatwiej wyobrazić sobie jako temperaturę poniżej zera na termometrze albo jako dług w banku. Pojawiają się tam, gdzie brakuje nam zasobów, by pokryć pewien wydatek lub zmianę.

Dodawanie i odejmowanie

Jeśli masz $5$ zł, a musisz zapłacić $8$ zł, brakuje Ci pieniędzy. Wchodzisz na minus:

$$ 5 - 8 = -3 $$

Jeśli masz już $10$ zł długu (czyli Twój stan konta to $-10$) i zrobisz kolejny wydatek na kwotę $5$ zł, Twój dług po prostu rośnie. Dwa minusy podczas odejmowania nie znoszą się wzajemnie, one się sumują w jeszcze większy dług:

$$ -10 - 5 = -15 $$

A co jeśli chcemy odjąć liczbę ujemną? Dwa minusy postawione obok siebie dają plus!

$$ 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 $$

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Dlaczego odjęcie liczby ujemnej to to samo co dodawanie? Wyobraź sobie, że liczba na Twoim koncie bankowym wynosi $5$ zł. Bank naliczył Ci jednak błędnie karę w wysokości $3$ zł, czyli dodał do Twojego konta "dług" (liczbę $-3$). Gdy składasz reklamację i bank ją uznaje, musi odjąć tę karę od Twojego konta. Skoro odejmuje Ci dług, to w rzeczywistości Twoja sytuacja finansowa poprawia się o $3$ zł! Matematycznie zapisujemy to jako usunięcie długu: odejmujemy ($-$) dług ($-3$), co daje $5 - (-3)$. Efekt jest taki sam, jakby ktoś po prostu dał Ci $3$ złote, czyli $5 + 3 = 8$. Odjęcie braku to to samo co przyrost!

Z kolei jeśli chodzi o mnożenie: dlaczego minus pomnożony przez minus daje plus? Wyobraź sobie kran i basen. Dodatnia woda ($+$) napełnia basen, ujemna ($-$) go opróżnia. Czas, który upłynął, to wartość dodatnia ($+$), a czas, który minął wcześniej (np. 2 godziny temu) to wartość ujemna ($-$). Jeśli woda wylewa się z basenu ($-$) przez ostatnie 2 godziny temu ($-$), to znaczy, że 2 godziny temu w basenie musiało być więcej wody niż teraz (czyli ostateczny efekt w przeszłości był na plus!). Matematyka zachowuje tu żelazną logikę natury.

Mnożenie i dzielenie

Przy mnożeniu i dzieleniu zasada znaków jest stała i niezależna od tego, jak duże są same liczby:

• Plus i Plus = Plus ($5 \cdot 3 = 15$)
• Plus i Minus = Minus ($5 \cdot (-3) = -15$)
• Minus i Minus = Plus ($-5 \cdot (-3) = 15$)

Przykładowe zadania