Potęgowanie

Potęgowanie to matematyczny skrót dla wielokrotnego mnożenia tej samej liczby przez siebie. Dokładnie tak samo, jak mnożenie jest skrótem dla wielokrotnego dodawania (np. $5 + 5 + 5 = 3 \cdot 5$).

Podstawa potęgi (duża liczba na dole) mówi nam, co będziemy mnożyć. Wykładnik (mała liczba na górze) mówi, ile razy ta liczba wystąpi w działaniu.

$$ 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $$

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Skąd wzięły się potęgi zerowe i ujemne? Wyobraź sobie ciąg potęg liczby $2$:

• $2^3 = 8$
• $2^2 = 4$
• $2^1 = 2$

Zauważasz wzór? Za każdym razem, gdy zmniejszamy wykładnik o $1$ (idąc w dół), wynik dzieli się przez $2$. Zatem logicznym przedłużeniem tego ciągu w dół będzie:

• $2^0 = 2 : 2 = 1$
• $2^{-1} = 1 : 2 = \frac{1}{2}$
• $2^{-2} = \frac{1}{2} : 2 = \frac{1}{4}$

Ten prosty dowód pokazuje, dlaczego każda liczba podniesiona do potęgi zerowej daje $1$ oraz dlaczego ujemny wykładnik wcale nie tworzy liczby ujemnej, lecz ułamek (odwrotność liczby)!

Ważne zasady operacji na potęgach:

1. Jakakolwiek liczba (poza zerem) podniesiona do potęgi $0$ daje zawsze $1$. Czyli $5^0 = 1$, $100^0 = 1$.
2. Liczba podniesiona do potęgi $1$ to po prostu ta sama liczba: $7^1 = 7$.
3. Mnożenie potęg o tych samych podstawach to dodawanie ich wykładników. Skoro $2^3$ to trzy dwójki, a $2^4$ to cztery dwójki, to ich pomnożenie da nam łącznie siedem dwójek: $$ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 $$
4. Dzielenie potęg o tych samych podstawach to odejmowanie ich wykładników: $$ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 $$

Przykładowe zadania