Pochodne funkcji

Pochodne to fundament całej analizy matematycznej, z którym spotkasz się na pierwszych zajęciach na studiach. Choć ich formalna definicja (oparta na granicach) bywa odstraszająca, samo liczenie pochodnych jest bardzo schematyczne i przypomina stosowanie gotowych klocków. Pochodna mówi nam po prostu, jak szybko funkcja rośnie lub maleje w danym punkcie – można ją utożsamić z prędkością chwilową w fizyce.

1. Podstawowe wzory na pochodne

Aby sprawnie liczyć pochodne, musisz opanować kilka podstawowych wzorów. W poniższych przykładach $c$ oraz $n$ oznaczają zwykłe liczby (stałe):

• Pochodna ze stałej: $(c)' = 0$. Jeśli funkcja jest stała (np. $f(x) = 5$), nie zmienia się, więc jej "prędkość zmiany" wynosi zero.
• Reguła potęgi: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. Wyciągamy potęgę przed $x$, a nową potęgę obniżamy o jeden. Na przykład: $(x^3)' = 3x^2$.
• Pochodna z $x$: $(x)' = 1$. Wynika to wprost z reguły potęgi: $(x^1)' = 1 \cdot x^0 = 1 \cdot 1 = 1$.
• Funkcje trygonometryczne: $(\sin x)' = \cos x$ oraz $(\cos x)' = -\sin x$.
• Funkcja wykładnicza: $(e^x)' = e^x$. To jedyna funkcja, której pochodna jest idealnie równa jej samej!
• Logarytm naturalny: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.

2. Reguły różniczkowania

Same wzory to nie wszystko. Funkcje zazwyczaj występują w połączeniach, dlatego musimy wiedzieć, jak postępować z działaniami algebraicznymi.

• Suma i różnica: $(f \pm g)' = f' \pm g'$. Pochodną sumy (lub różnicy) liczymy po prostu osobno dla każdego elementu.
• Stała przed funkcją: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$. Zwykłą liczbę wyciągamy przed pochodną. Na przykład: $(5x^3)' = 5 \cdot (x^3)' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$.
• Wzór na iloczyn: $(f \cdot g)' = f'g + fg'$. Jeśli dwie funkcje z $x$ się przez siebie mnożą, musimy zastosować ten wzór. Nie wolno mnożyć pochodnej przez pochodną!
• Wzór na iloraz: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$.

Dla dociekliwych: Skąd to się wzięło?

Każdy uczeń na studiach uczy się na pamięć wzoru na regułę iloczynu: $(f \cdot g)' = f'g + fg'$. Jednak dlaczego nie jest to po prostu pochodna pierwszej funkcji razy pochodna drugiej? Matematyka zawsze opiera się na logice. Spróbujmy wyprowadzić to wprost z definicji.

Formalna definicja pochodnej funkcji $H(x) = f(x)g(x)$ to granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost $h$ dąży do zera: $H'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$

Użyjemy teraz standardowej, matematycznej "sztuczki", często spotykanej w dowodach. Dodamy i odejmiemy w liczniku to samo wyrażenie: $f(x+h)g(x)$. Zabieg ten nie zmienia wartości równania, ale pozwala na przegrupowanie elementów: $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x) + f(x+h)g(x) - f(x)g(x)}{h}$

Rozbijamy to na dwa osobne ułamki i wyciągamy wspólne czynniki przed nawias: $\lim_{h \to 0} \left[ f(x+h) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right]$

Gdy $h \to 0$, wartość $f(x+h)$ dąży do samego $f(x)$. Z kolei ułamek $\frac{g(x+h) - g(x)}{h}$ to z definicji po prostu pochodna $g'(x)$, a ułamek $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ to pochodna $f'(x)$.

Podstawiając te informacje, otrzymujemy ostatecznie: $f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)$ Co jest dokładnym odwzorowaniem powszechnie stosowanego wzoru na iloczyn! Wzory różniczkowania to po prostu wyliczone raz na zawsze skróty od żmudnych granic.

Przykładowe zadania